الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\frac{1}{y + 10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{21}$

خطوة 1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y + 10, y, 21$

خطوة 1.2

Since $y + 10, y, 21$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

تتمثل خطوات إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ $y + 10, y, 21$ فيما يلي:

1. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء الرقمي $1, 1, 21$ .

2. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير $y^{1}$ .

3. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير المركب $y + 10$ .

4. اضرب كل مضاعف مشترك أصغر معًا.

خطوة 1.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 1.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 1.5

$21$ لها العاملان $3$ و $7$ .

$3 \cdot 7$

خطوة 1.6

اضرب $3$ في $7$ .

$21$

خطوة 1.7

عامل $y^{1}$ هو $y$ نفسها.

$y^{1} = y$

تحدث $y$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 1.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y^{1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y$

خطوة 1.9

عامل $y + 10$ هو $y + 10$ نفسها.

$(y + 10) = y + 10$

تحدث $(y + 10)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 1.10

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y + 10$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y + 10$

خطوة 1.11

المضاعف المشترك الأصغر $LCM$ لبعض الأعداد هو أصغر عدد تمثل الأعداد عوامله.

$21 y (y + 10)$

خطوة 2

اضرب كل حد في $\frac{1}{y + 10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{21}$ في $21 y (y + 10)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{y + 10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{21}$ في $21 y (y + 10)$ .

$\frac{1}{y + 10} (21 y (y + 10)) + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$21 \frac{1}{y + 10} (y (y + 10)) + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2.1.2

اجمع $21$ و $\frac{1}{y + 10}$ .

$\frac{21}{y + 10} (y (y + 10)) + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

أخرِج العامل $y + 10$ من $y (y + 10)$ .

$\frac{21}{y + 10} ((y + 10) y) + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{21}{y + 10} ((y + 10) y) + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$21 y + \frac{1}{y} (21 y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$21 y + 21 \frac{1}{y} (y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2.1.5

اجمع $21$ و $\frac{1}{y}$ .

$21 y + \frac{21}{y} (y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$21 y + \frac{21}{y} (y (y + 10)) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$21 y + 21 (y + 10) = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$21 y + 21 y + 21 \cdot 10 = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2.1.8

اضرب $21$ في $10$ .

$21 y + 21 y + 210 = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.2.2

أضف $21 y$ و $21 y$ .

$42 y + 210 = \frac{1}{21} (21 y (y + 10))$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أخرِج العامل $21$ من $21 y (y + 10)$ .

$42 y + 210 = \frac{1}{21} (21 (y (y + 10)))$

خطوة 2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$42 y + 210 = \frac{1}{21} (21 (y (y + 10)))$

خطوة 2.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$42 y + 210 = y (y + 10)$

خطوة 2.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$42 y + 210 = y \cdot y + y \cdot 10$

خطوة 2.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $y$ في $y$ .

$42 y + 210 = y^{2} + y \cdot 10$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $10$ إلى يسار $y$ .

$42 y + 210 = y^{2} + 10 y$

خطوة 3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$y^{2} + 10 y = 42 y + 210$

خطوة 3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $42 y$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} + 10 y - 42 y = 210$

خطوة 3.2.2

اطرح $42 y$ من $10 y$ .

$y^{2} - 32 y = 210$

خطوة 3.3

اطرح $210$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} - 32 y - 210 = 0$

خطوة 3.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.5

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 32$ و $c = - 210$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 210)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

ارفع $- 32$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 1 \cdot - 210}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 210$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 210}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 210$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1024 + 840}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.3

أضف $1024$ و $840$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{1864}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.4

أعِد كتابة $1864$ بالصيغة $2^{2} \cdot 466$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $1864$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{4 (466)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 466}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{32 \pm 2 \sqrt{466}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{32 \pm 2 \sqrt{466}}{2}$

خطوة 3.6.3

بسّط $\frac{32 \pm 2 \sqrt{466}}{2}$ .

$y = 16 \pm \sqrt{466}$

خطوة 3.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = 16 + \sqrt{466}, 16 - \sqrt{466}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$y = 16 + \sqrt{466}, 16 - \sqrt{466}$

الصيغة العشرية:

$y = 37.58703314 \dots, - 5.58703314 \dots$